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Wie funktioniert Isometrie? link
Erstellt vonBeiträge
  
jansgepostet: 11.03.2008 17:30 link

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Oder was ist in PixelPlaza wie lang und warum?

In diesem Tutorial geht es um Maßstab und Isometrie. Er ist für all die Fortgeschrittenen, die sich mit allen Maßgaben des Starttutorials Forum-Thread:496 vertraut gemacht haben, und diese bei einfachen Formen sicher beherrschen. Nach diesem Tutorial sollte der Leser in der Lage sein besser mit den Winkeln und Schrägen in PixelPlaza umgehen zu können. Es sollte ihm möglich sein aus dem rechten Winkel auszubrechen und so seine Bilder variabler zu gestallten. Er sollte zudem die Hintergründe der in PixelPlaza verwendeten Isometrie verstanden haben.

Dieses Tutorial behandelt nicht wie weitere Winkel mittels Anti-Alias erzeugt werden können, noch werden Bögen besprochen. Dazu gibt es bereits ein sehr gutes Tutorial Forum-Thread:594. Auch sollte es dem fortgeschrittenen Leser möglich sein durch Kombination beider Tutorials die Bögen auch auf andere Winkel zu übertragen.

Ich möchte in diesem Tutorial niemanden mit langen Herleitungen langweilen, das Thema ist trocken und mathematisch genug. Auch sollte sich niemand sklavisch an die hier berechneten Maße halten müssen, besonders auf kleinem Raum ist dies auch meist sehr schwer zu realisieren. Aber ich greife vor.

Damit wir im Folgenden bei den Koordinaten nicht total durcheinander geraten, definieren wir uns 2 Koordinatensysteme: das Weltkoordinatensystem (das fiktiv-3-dimensionales Koordinatensystem der Bewohner von PixelPlaza) und das Projektionskoodinatensystem (2-dimensionales Koordinatensystem unserer Bilder). Da es hier ums Pixeln und nicht um Mathe geht, mache ich das grafisch mit einem Schaubild.



Koordinaten im Weltkoordinatensystem werden mit [w] gekennzeichnet, die in eurem Bild mit [p].

Die folgenden Berechnungen sind vom Pixeln unabhängig und gelten für jede Isometrie diesen Typs. Alle Zahlen sind jedoch für das Pixeln optimiert. Daher kommt es bei den Winkeln zu sehr krummen zahlen. Nach den ganzen Berechnungen komme ich dann auf das Pixeln zurück.

Vielleicht hat der eine oder andere von euch bereits etwas von Schnitten oder Rissen gehört. Bei technischen Zeichnungen oder zum beispiel beim Architekten für ein Haus werden diese benutzt um anderen anzuzeigen wie etwas aussieht und was wo hinkommt. Ansich funktioniert das hier nicht anders. Jeder der drei Schnitte (Vorderansicht/Rückansicht, Seitenansicht und Draufsicht) wird auch in dieser Isometrie verwendet. Die Draufsicht kommt in z[w]-Richtung obenauf. Die Seitenansicht und die Vorder- oder Rückansicht kommen in x[w]- und y[w]-Richtung zu unserem Bild. Damit das Vorstellen besser klappt hier ein Beispiel:



Uns interessiert nur ein Schnitt: die Draufsicht. Also genau das was man von oben sehen würde. Diese wird bei PixelPlaza verzerrt um einen 3-dimensionalen Eindruck zu vermitteln. Das einzige was hierbei jedoch gemacht wird, ist, dass die Höhe in y[p] Richtung um den Faktor 2 gestaucht wird (mit dem Faktor 0,5 skaliert/gedehnt wird).

Das bedeutet, alle Längen in x[p]-Richtung bleiben unverändert! Das bedeutet durch Drehen des Grundrisses lassen sich bereits alle Längen in x[p]-Richtung bestimmen. Das passiert nun mit der Mathematik - genauer mit Hilfe der Trigonometrie. Daher hier nochmal kurz zur Wiederholung:





Wie hilft nun also die Trigonometrie, die richtige Höhe und Breite in unserem Bild (unserer Projektion) zu bestimmen? Wir kennen die Länge der Strecke in Metern im Weltkoordinatensystem und wir kennen den Maßstab, in dem unser Bild gemalt werden soll. Diese beiden Angaben zusammen (Strecke[w] * Maßstab) ergeben die Länge der Hypothenuse unseres Projektionsdreiecks. Für Pixelplaza wären das bei einer Strecke von 1 Meter mit dem Maßstab 1 Meter = 6 Pixel eine Hypothenusenlänge von 6 Pixeln.

Die Hypothenuse liegt nun irgendwie gedreht. Je nachdem wie wir unseren Grundriss gedreht haben. Wir berechnen nun also mit folgender Formel die Anzahl der Pixel in x[p]-Richtung.



Die für uns wichtigsten Winkel sind 63,44°, 45° und 26,56°. Wie man zu diesen Werten kommt, erkläre ich nach folgender Illustration. Hier sieht man die unterschiedlichen Anordungen im Grundriss/Draufsicht und dann in unserer Projektion.



Der aufmerksame Leser wird gemerkt haben, dass ich über die Höhe gar kein Wort mehr verloren habe. Das brauche ich auch nicht, solange ich die obigen Winkel verwende. Der Vollständigkeit halber sei jedoch erwähnt, dass man für die Berechnung der Höhe[p] nur den Cosinus mit dem Sinus vertauschen muss und den Faktor für die Verzerrung 0,5 dazu multiplizieren muss.

Wie also kommt es zu diesen krummen Winkeln?

Und viel wichtiger, was nutzen die uns? Die Winkel stehen für 1:2 Pixel (63,44°), 1:1 Pixel (45°) und 2:1 Pixel (26,56°) im Grundriss. Aus ihnen werden dann in unserem Bild die Verhältnisse 1:1 Pixel, 2:1 Pixel und 4:1 Pixel. Mit dem Verhältnis 2:1 hat hier wohl jeder schon gearbeitet. Damit fängt man sozusagen an. Diese Verhältnisse haben den Vorteil, dass es weder halbe Pixel gibt, die man mit Anti-Alias interpolieren müsste, noch dass wir die Höhe berechnen müssen.

Mit den x[p]-Koordinaten aus unserer Berechnung sind Anfang und Ende bekannt. Jetzt müssen also nur noch die bekannten Treppen in dem entsprechenden Verhältnis dazwischengepixelt werden und die Höhe ergibt sich automatisch.

Für die z[w]-Koordinate muss man gar nichts tun. Diese Längen bleiben alle erhalten und werden nur passend zu den "Treppen" nach oben oder unten verschoben.

Zum abgucken und Vergleichen der eigenen Versuche habe ich hier noch einen Isometriekreis gepixelt. Jeder Kasten ist 1x1x3 Meter im Welkoordinatensystem groß.

  
Mr. Blackgepostet: 11.03.2008 19:40 link

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